שנת לימודים סמסטר מועד ניתן בתאריך מרצה מתרגל שאלות. 0, 3 r. n ויהי : 2 איתי בארלי גרסה / /1/14 פרופ' אהוד לרר איתי בארלי. a.

Transcription

1 הסתברות לדו-חוגי פתרון מבחן איתי בארלי גרסה 3.3 3/4 א' א' //4 פרופ' אהוד לרר איתי בארלי שנת לימודים סמסטר מועד ניתן בתאריך מרצה מתרגל a. תשובה: שאלות. f Y r, r r, r :, r 3 r, r 3, 3 r. r ויהי,, Y : הסבר: יהי F r Y r r s t t sr

2 , הרי שהוקטור המקרי, ~ U, מאחר ו- ו- ב"ת וש"ה ומתקיים אחיד מעל ריבוע היחידה. לכן לכל קבוצת בורל מתקיים: מתפלג B,, B B נמשיך בשיטת שלושת השלבים (ר' איור).. r מקרה א':.i FY r. r מקרה ב':.ii F Y r r 4 r r

3 F Y r r r r 4. r מקרה ג':.iii. r 3 מקרה ד':.iv F Y r r 3 r 4 F Y r FY r r, r r, r 4 r, r 4 3 r, r 3 4, 3 r. 3 r מקרה ה':.v לסיכום,,,,3 רציפה וגזירה מלבד אולי בקבוצת הנקודות הסופית, והפונקציה הבאה: F Y f Y r, r r, r :, r 3 r, r 3, 3 r f Y r F Y r r \ רציפה וחסומה ולכל,,,3

4 .Y f Y לכן תשובה: צפיפות של E Y. 3 יהי הסבר:.b E 3 Y E E E E 3EU, כאשר השוויון הראשון נובע מדיסטריבוטיביות התוחלת מעל חיבור, השוויון השני נובע מליניאריות התוחלת., ~ U, והשוויון השלישי נובע מכך ש- 5 V Y. יהי תשובה: הסבר:.c 5 VYVVV4V 5VU, כאשר השוויון הראשון נובע מהעובדה שהשונות של סכום מ"מ ב"ת היא סכום שונויות המחוברים, השוויון השני נובע מנוסחת שונות של העתקה ליניארית., ~ U, והשוויון השלישי נובע מכך ש-,Y,Y אינה סדרה של מ"מ ב"ת. תשובה: לא, Y הסבר: נניח בשלילה שהסדרה הגדולים, ולכן מתקיימת גם מסקנתו: ב"ת. אז מתקיימים תנאי החוק החזק של המספרים.d () Y E Y a.s. 3, אולם לכל Y k k הסדרה מקיימת את תנאי החוק החזק ולכן a.s. ולכן

5 () Y a.s. מ- () ו- () נקבל a.s. 3. בסתירה לנתון ש- ~ U, a. תשובה:. F t, t 5 5 t t e e e e, t 5 5 e, 5 t יהי הסבר:. r F r r, 5 5 ראשית נחשב את המונה באמצעות שיטת שלושת השלבים (ר' איור).. r מקרה א':.i

6 Fr. r 5 מקרה ב':.ii F r 5 r s s Exp dd t s e f t dd t s r s 5 e F Exp s d s r 5 s s e e ds 5 r r s s d e s e e ds 5 r r Exp Exp 5 Expr e F Exp r f s ds e f s ds F e 5 r s s t e e r e e 5 r 5 5 r r e e e e. 5 r מקרה ג':.iii Fr F5 e e e e e e e לחישוב המכנה נשים לב שמאחר ו- ו- אי שליליים, 5 5, F 5 e 5 5 b. תשובה: 5 5 8e 4e E e

7 S,, הסבר: יהי הסתברות חדש: מרחב ההסתברות שמעליו מוגדרים ו-. נגדיר מרחב S':,, '. הוא ' A A היא מידת ההסתברות המותנה במאורע כאשר 5 גם מ"מ מעל ' S ובסעיף הראשון חישבנו את הפה"מ של 5 ביחס למרחב ביחס למרחב ההסתברות ' S. בסעיף זה אנו נדרשים לחשב את תוחלת הסתברות זה. נשתמש בנוסחת "תוחלת מפה"מ": E 5 F t dt F t dt 5 5 t 5 t e e e e 5 dt e t t e e e e e dt t 5 t e e te 4e e 5 5 8e 4e 5 e t E.5 4 l תשובה:.77 3 הסבר:.c

8 E E E.5 E E.5 V E E.5 4E.5 4E.5, 4.5, s f,sds U s 4.5, s,sds s 4 ds.5 s 3. תשובה: לא נכון 3 3 הסבר: לו היה נכון ש- היחידים שהם ב"ת בעצמם הם הקבועים. תשובה: נכון ב"ת, היה מתקיים בפרט ש- ו- ב"ת. אולם והמ"מים.4 Y Y כדלקמן. לכל הסבר: נגדיר סדרה Y : כך שמתקיים,,,,, Y,, Y, 3 4. אז יהי Y וכן

9 םי- Y Y היא סדרת מ"מ ב"ת וש"ה שהתפלגותם בעלת תוחלת סופית, שנסמנה, ובעלת שונות סופית, שנסמנה, ולכן מהחוק החלש של המספרים הגדולים Y, ולכן ולכן. ~Bi6, 3 הערה: בעצם לא הזדקקנו להנחה ש- תשובה: נכון הסבר: נגדיר מ"מ כדלקמן.5, 5 Y :, 5, 5 ולכן מתקיים Y אם לפחות שני שווים ל-, אז לפחות שני -ים גדולים מ- 5 כלומר Y Y ולכן Y Y 5 5 Bi 5,

10 .t אז תשובה: נכון הסבר: יהי.6 Y t Y t, Y t, Y t, Y t, Y ty t F t Y F Y t FY t.y ~Ber והשוויון הרביעי מאי-תלות כאשר השוויון השני והאחרון מכך ש- משום ש- ו- רציפה ובעלת נגזרת ועל-כן הביטוי האחרון בסדרת השוויונות הנ"ל מראה. Y F Y Y בעל צפיפות, F Y שגם רציפה ובעלת נגזרת ונגזרת זו היא הצפיפות של תשובה: לא נכון הסבר: דוגמה נגדית: נגדיר.7 : t ואמנם, לכל.t : ונראה ש- G אינה רציפה מימין בנקודה t, t t t, לכן G,,, ועל-כן מתקיים limgt lim tlim t t t t, t t t G, תשובה: לא נכון הסבר: נגדיר מ"מ:.8 הוכחה ריגורוזית בנספח בסוף מסמך זה.

11 , The chose coi has probability to show "Heads" 3 3 Y :, The chose coi has probability to show "Heads" קל לוודא ש- E E Y Y 5 3 7, E, * Y EBi Y, E Y * EBer Y EY 3 7 E Y 5 אז מנוסחת ההסתברות השלמה נקבל: מהסימטריה בין ל- מתקיים ולא מתקיים איפוא, כפי שצריך היה להיות לו ו- היו ב"ת.

12 נספח בנספח זה אתן הוכחה ריגורוזית (תורת-מידתית) לשאלה 6. נספח זה מסתמך על מושגים ותוצאות מתורת המידה שלא נלמדו בקורס, והוא ניתן כאן לצורך שלמות והעשרה למתעניינים. אסתמך על הגדרות ומשפטים משני הספרים הרשומים בביבליוגרפיה בסוף מסמך זה. הספר (3 (Fremli, ניתן להורדה בחינם מהרשת בכתובת G: F : טענה תהי פה"מ של התפלגות בעלת צפיפות. נגדיר פונקציה כדלקמן: G t : F t Ft נניח שידוע ש- G פה"מ, כלומר G בעלת שלוש התכונות הבאות: G מונוטונית לא-יורדת t limgt ו- lim Gt t G רציפה מימין...3 היא הפה"מ שלה. הראו ש- G כידוע בתנאים אלו קיימת התפלגות ש- בעלת צפיפות. f :, הוכחה ראשית נברר לעצמנו מה הכוונה בביטוי " אינטגרבילית לבג במובן הרחב ומקיימת לכל קבוצת בורל בעלת צפיפות". הכוונה שקיימת פונקציה שהיא, BBorel d B B f נאפיין עתה את ההתפלגויות בעלות הצפיפות במונחי הפה"מ שלהן (למה 3 להלן).. אזי הגדרה תהי אםם קבוצה ויהי בעל שלוש התכונות הבאות: אוסף של תתי-קבוצות של נקרא אלגברה של תתי-קבוצות של B k k,,, B B B \ B ולכל לכל...3 למה נסמן ב- את אוסף כל הקטעים על הישר: חסומים ולא חסומים, פתוחים, סגורים וחצי-פתוחים (פורמלית, ). נגדיר את להיות הקבוצה המורכבת מכל האיחודים הסופיים של איברי : II : st, t I st, I k I k : I I,,I I :,, (פורמלית, ). אז היא אלגברה של קבוצות.

13 , :, הגדרה 5)) (Raa, ( תהי קבוצה לא ריקה, תהי -אלגברה על ותהי אםם בעלת שלוש התכונות הבאות:. אזי נקראת מידה בעלת- סימן measure) (siged. מקבלת לכל היותר אחד מהערכים A, A, לכל סדרה אינסופית של מאורעות זרים בזוגות מתקיים: לכל העתקה חח"ע ועל A. ("במובן הרחב" כי A A מתכנס במובן הרחב ל- סופי, התנאי שקול לכך שהטור A i A A : i, הטור. אם עשוי להיות מתכנס בהחלט.)...3, I, I למה אם, :Borel מידה סופית בעלת-סימן measure),(siged כך שלכל קטע קומפקטי. B, BBorel אזי לכל. נתבונן באוסף B B הוכחה נסמן ב- את אוסף כל קבוצות בורל המקיימות: של קטעים (לאו דווקא קומפקטיים). קל לוודא ש- הוא אלגברה המוכלת ב- וכן ש-. מש"ל (למה ( Borel. אולם לכן ממשפט המחלקה המונוטונית, פה"מ. אזי רציפה בהחלט מעל המורכב מאיחודים סופיים מחלקה מונוטונית. (במובן של (3 (Fremli,,5(h) עמ' 86) אםם ab, F למה :, תהי F קיימת פונקציה אינטגרבילית לבג f : כך שלכל, a מתקיים המקיימים b (3 (Fremli,,5(h) עמ' 86 בצירוף למה לעיל. מש"ל (למה ) b. f d F b F a a הוכחה הלמה נובעת מ- (Fremli, רציפה בהחלט מעל (במובן של F Q Q בעלת צפיפות אםם הפה"מ שלה למה 3 תהי Q התפלגות. אזי 3),5(h) עמ'.(86

14 הוכחה משום שמידת הסתברות נקבעת באופן יחיד ע"י ערכיה מעל כל אוסף של קבוצות בורל הסגור לחיתוכים והיוצר f : שהיא אינטגרבילית לבג במובן, את שדה בורל, הרי ש- Q בעלת צפיפות אםם קיימת פונקציה הרחב ומקיימת לכל t t Q fd Q, t F t. F Q F Q עתה, מונוטונית לא-יורדת, ולכן לפי (3 (Fremli, 4D, עמ' 7 בעלת השתנות חסומה מעל. מש"ל (למה 3) F Q Q בעלת צפיפות אםם לכן מלמה, רציפה בהחלט מעל, כלומר ) (Fremli, I קטע כזה. נוכיח עתה את הטענה הראשית. לפי למה 3 מספיק שנראה ש- G רציפה בהחלט מעל (3,5(h) עמ' 86) ש- G רציפה בהחלט מעל כל קטע סגור חסום לא-ריק. יהי F רציפה בהחלט מעל ובפרט, רציפה בהחלט מעל F הינה פה"מ בעלת צפיפות, הרי שמלמה 3 t:. I : כמו-כן מ- 3) (Fremli,,5K עמ' 83 נקבל שהפונקציה ti, g t g:, g : : t מאחר ו- I וכן מעל רציפה בהחלט מעל. I לכן מ- (3 (Fremli, 5C, עמ' 77 (סעיפים (c) ו- (e)) נקבל מש"ל. Works Cited Fremli, D. H. (3). Measure Theory (Vol. ). Colchester, Eglad: Biddles Short Ru Books, Kig s Ly. Kleke, A. (8). robability Theory: A Comprehesive Course. Lodo: Spriger. 8),(Kleke, למה,.4 עמ'